Định lí đẹp: Ptôlêmê

Định lý Ptolemy hay Đẳng thức Ptolemy là đẳng thức trong hình học Euclid miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp đường tròn. Định lý này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (Claudius Ptolemaeus).
Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì:
với dấu gạch ngang kí hiệu độ dài của các cạnh.
Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo: Thuận:Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện. Đảo:Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.

Bất đẳng thức Ptolemy



Bất đẳng thức Ptolemy là trường hợp tổng quát của định lý Ptolemy đối với một tứ giác bất kỳ. Nếu ABCD là tứ giác bất kỳ thì
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptolemy.
[sửa]
Chứng minh
Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.
Dựng điểm E sao cho tam giác △BCD đồng dạng với tam giác △BEA. Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có BA/EA = BD/CD
Suy ra BA.CD = EA.BD (1)
Mặt khác, hai tam giác △EBC và △ABD cũng đồng dạng do có BA/BD = BE/BC và ∠EBC = ∠ABD
Từ đó EC/BC = AD/BD
Suy ra AD.BC = EC.BD (2)
Cộng (1) và (2) ta suy ra AB.CD + AD.BC = BD.(EA+EC)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra
Mặt khác.từ định lí này....có thể suy ra định lí đẹp nhất về khối tứ diện
Công thức Crelle: S = 6VR, trong đó V là thể tích tứ diện, R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và S là diện tích tam giác có các cạnh là tích các cặp cạnh đối diện


RẤT MONG Í KIẾN VÀ CHIA SẼ NHỮNG ĐỊNH LÍ ĐẸP TRONG CÁC BÀI VIẾT